Кінетична енергія обертального руху
Кінетична енергія об’єкта, масою m, що рухається поступально зі швидкістю v, обчислюється за формулою:
Для отримання формули обчислення кінетичної енергії для обертального руху необхідно замінити масу тіла m на момент інерції I, а швидкість на кутову швидкість ω.
Формула зв’язку тангенціальної швидкості v та кутової швидкості ω виглядає наступним чином (докладніше дивись “Параметри обертального руху“):
Підставимо це співвідношення у попередню формулу:
Слід сказати, що ця формула розрахунку кінетичної енергії підходить лише для матеріальної точки.
Формула для обчислення кінетичної енергії протяжного об’єкта виглядатиме так:
Якщо всі матеріальні точки протяжного об’єкта обертаються з однаковою кутовою швидкістю, її можна винести за знак підсумовування:
Згадаймо формулу моменту інерції, і зробимо підстановку:
Практичне завдання
Припустимо, що по похилій площині скочуються два циліндри однакової маси – порожнистий і цільний. З’ясуємо, який із цих циліндрів скотиться швидше, тобто, буде мати більшу швидкість в кінці похилої площини.
Вирішуючи завдання такого типу, треба розуміти, що, якби циліндри просто ковзали вниз по похилій площині без обертання, їх потенційна енергія перетворювалася б на кінетичну енергію поступального руху:
У нашому випадку, потенційна енергія циліндрів перетворюється на кінетичну енергію, як поступального, так і обертального руху:
Оскільки кутова швидкість обчислюється за формулою ω=v/r, отримаємо наступну рівність, і виведемо формулу для обчислення швидкості руху циліндрів:
Для обох циліндрів усі параметри у формулі однакові, за винятком моменту інерції I (детальніше дивись “Момент інерції протяжного об’єкта“):
- для порожнього циліндра: I=mr2;
- для цільного циліндра: I=(1/2)mr2
Підставляємо відповідні значення для моменту інерції у формулу обчислення швидкості циліндрів, і проводимо нескладні математичні перетворення:
Співвідношення швидкостей циліндрів дорівнюватиме:
Таким чином, швидкість порожнього циліндра буде трохи нижчою, ніж цільного, отже, цілісний циліндр швидше скотиться по похилій площині.
З фізичної точки зору цей факт пояснюється досить просто. У порожнистому циліндрі основна маса матеріальних точок зосереджена на краю циліндра (на відстані радіуса від його центру), у той час, як у цільному циліндрі матеріальні точки розподілені рівномірно по всьому радіусу, тобто, при однаковій кутовій швидкості в порожнистому циліндрі кількість матеріальних точок, що мають високу тангенціальну швидкість, буде більше, ніж у цільному, тому, порожнистому циліндру знадобиться витратити більше енергії на свій розгін.