Відрізок, промінь, пряма
Розділ математики, що вивчає об’ємні фігури та закони їх виміру, називається геометрією.
Планіметрія вивчає двовимірні фігури, розташовані на площині.
Будь-яка фігура, будь вона об’ємною, площинною чи лінійною, складається з безлічі точок – таких собі математичних аналогів атомів реального світу.
Найпростішими фігурами планіметрії є відрізок, промінь та пряма.
Все це прямі лінії, головна відмінність яких одна від одної полягає в наступному:
- пряма немає ні початку, ні кінця (ЕF);
- промінь має початок, але не має кінця (CD);
- відрізок має початок та кінець (AB).
Важливо розуміти, що математична пряма, промінь чи відрізок немає такого поняття, як товщина – це прямі лінії, які складаються з сукупності точок, які стоять ” пліч-о-пліч ” поруч друг з другом.
Математична точка немає ніякої розмірності – вона може характеризуватись лише координатами.
Провести “справжню” пряму або промінь неможливо, тому обмежуються побудовою відрізка, а щоб розрізняти відрізок, промінь і пряму, ставлять або не ставлять крапку на початку і в кінці відрізка:
- відрізок з обох боків обмежується точками;
- у променя крапка ставиться на його початку;
- пряма крапками не обмежується.
Суміщенні прямі
Дві прямі, розташовані в одній площині, можуть або перетинатися одна з одною (мати одну спільну точку) або не перетинатися (не мати спільних точок).
Візьмемо довільні чотири точки A, B, C, D, які розташовані в одній площині і лежать на одній прямій.
Проведемо одну пряму через точки A і D, а другу пряму через точки В і С.
Очевидно, що друга пряма накладеться на першу. Кажуть, що прямі AD та BC поєдналися або збіглися.
Суміщенні прямі ні перетинаються, ні є паралельними, оскільки мають безліч загальних точок. Тим не менш, деякі автори суміщені прямі розглядають, як окремий випадок паралельних прямих, що, загалом, недалеко від істини.
Схрещені прямі
Дві прямі, що мають одну загальну точку, називаються схрещеними.
Окремий випадок прямих, що схрещуються – перпендикулярні прямі.
Перпендикулярними прямими називаються дві прямі, що схрещуються, при перетині яких утворюються чотири прямі кути.
Щоб зробити висновок чи є прямі перпендикулярними, що схрещуються, достатньо знати величину одного з чотирьох кутів, які утворюють схрещувальні прямі – якщо будь-який з таких кутів дорівнює 90°, то і всі три інших будуть також рівні 90°, тобто, прямі будуть перпендикулярними . Якщо ж який-небудь з кутів не дорівнює 90 °, то жоден з кутів не дорівнюватиме 90 °, а, отже, такі прямі не будуть перпендикулярними.
Довести це дуже просто.
При перетині двох прямих утворюються 4 кути (див. рисунок вище): AOC, COD, DOB, BOA.
Якщо один із кутів, наприклад, АОС, дорівнює 90°, то і суміжний з ним кут COD також дорівнюватиме 90° (див. Що таке кут). Також буде прямим та інший суміжний кут BOA.
Кути AOC і DOB також будуть рівними між собою, оскільки є вертикальними кутами.
Якщо ж будь-який з кутів (наприклад, кут АОС) не є прямим, то прямими не будуть і суміжні з ним кути COD і BOA. Оскільки, кути AOC і DOB є вертикальними, вони рівні між собою, таким чином кут АОС не дорівнює 90°, то й кут DOB також не буде прямим.
Паралельні прямі
Прямі будуть паралельними, якщо вони не мають спільних точок і при цьому лежать в одній площині.
Аксіома паралельних прямих: через будь-яку точку площини можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій.