Що таке геометрична прогресія
Геометрична прогресія – це числова послідовність у котрій кожен її наступний член знаходиться множенням поточного на якесь дійсне число, котре називають знаменником геометричної прогресії, при цьому такий числовой ряд не повинен бути нульовим.
Рекурентна формула геометричної прогресії має наступний вид:
- bn – енний член геометричної прогресії (bn≠0);
- bn+1 – член геометричної прогресії, наступний за енним;
- q – знаменник геометричної прогресії (q≠0).
Знаменник геометричної прогресії є часткою сусідніх членів прогресії:
Будь-який член геометричної прогресії, починаючи з другого, є середнім геометричним його сусідніх членів:
Якщо відомі перший член геометричної прогресії та її знаменник, можна знайти будь-який член такої прогресії:
Формули для знаходження суми n перших членів геометричної прогресії:
Сума членів нескінченно спадаючої геометричної прогресії
Геометрична прогресія називається нескінченно спадаючою якщо модуль її знаменника менше одиниці, а число членів – нескінченне.
Наприклад, при q=0,1 геометрична прогресія, першим членом якої є 100, матиме такий вигляд
Члени такої безмежної геометричної прогресії будуть зменшуватися, але завжди залишатимуться позитивними, тобто більше 0.
Найти суму будь-якого нескінченного ряду неможливо. Однак, безмежно зростаюча геометрична прогресія має свою характерну особливість, яка полягає в тому, що існує число, до якого нескінченно зростаюча геометрична прогресія буде прагнути, але ніколи не досягне його.
Таке число називається сумою нескінченно спадаючої геометричної прогресії:
Наприклад, сума нескінченно спадаючої геометричної прогресії, зазначеної вище, буде дорівнюватиме:
Сума нескінченно спадаючої геометричної прогресії завжди буде нескінченним періодичним десятковим дробом.