Ознаки подільності чисел

У деяких випадках треба знати, чи поділяється те чи інше число націло на певний дільник. Якщо ділене і дільник числа малі, то, як правило, таке завдання не складає труднощів. Інша річ, якщо ділене є числом великим.

Значною мірою полегшують таке завдання ознаки подільності чисел. Почнемо з елементарного.

На  1 поділяється без залишку будь-яке натуральне число!

На  2 без залишку поділяються всі парні числа.

У свою чергу всі числа, що закінчуються на парну цифру (0, 2, 4, 6, 8) є парними. Таким чином, якщо число закінчується на 0, 2, 4, 6, 8, воно без залишку поділяється на 2.

На  5 без залишку поділяється число, що закінчується на 5 або 0.

На  10 без залишку поділяється число, що закінчується на 0.

Ознака подільності на 3 та 9

Якщо подільність на 2, 5 та 10 встановлюють за останньою цифрою діленого, то подільність на 3 та 9 встановлюють за сумою всіх цифр діленого.

Ознака подільності на 3:  якщо сума всіх цифр числа поділяється без залишку на 3, то й саме число буде без залишку поділятись на 3.

• 273; 2+7+3 = 12; 12:3 = 4; 273:3 = 91.

Якщо число дуже велике, і сума всіх його цифр виходить також великим числом, то складають цифри вже в сумі отриманих цифр числа.

Наприклад:

• 789 987 777 888 999 101
• Сума цифр такого числа дорівнює 122. Чи поділяється 122 на 3 без залишку так відразу і не скажеш, тому, складемо цифри в числі 122 – отримуємо 5. 5 на 3 не поділяється без залишку, значить і наше число також не поділяється на 3 без залишку.

Ознака подільності на 9: якщо сума всіх цифр числа поділяється без залишку на 9, то й саме число буде поділятися без залишку на 9.

• 981; 9+8+1 = 18:9 = 2; 981: 9 = 109.

Ознаки подільності на числа 4, 6, 7, 8 не такі очевидні, але вони є і про них корисно знати.

Ознака подільності на 4

Ознака подільності на 4: число без залишку поділяється на 4 у тому випадку, якщо без залишку на 4 поділяється число, складене з двох останніх цифр числа, при цьому таке число має бути парним.

Наприклад:

• 588 поділяється на 4, тому, що 88 поділяється на 4 без залишку;
• 489022 не поділяється без залишку на 4, тому що 22 не поділяється без залишку на 4;
• 9909080 поділяється на 4, тому що 80 поділяється без залишку на 4;
• 344503043 не поділяється без залишку на 4, тому що це непарне число.

Ознака подільності на 8

Число поділяється без залишку на 8 у тому випадку, якщо без залишку на 8 поділяється число, складене з останніх трьох цифр нашого числа, при цьому таке число повинно бути парним.

Приклади:

• 48008 – поділяється націло на 8, тому що, 008 (або просто 8) поділяється націло на 8;
• 480011 – не поділяється націло на 8, тому що це непарне число;
• 480980998 – не поділяється націло на 8, тому що 998 не поділяється націло на 8.

Ознака подільності на 6

Число на 6 поділяється без залишку, якщо воно є парним та сума його цифр поділяється на 3.

Приклади:

• 4800039 не поділяється без залишку на 6, тому що це непарне число;
• 4800040 не поділяється без залишку на 6, тому що сума цифр числа =16, а 16 не поділяється на 3 без залишку;
• 4800042 поділяється без залишку на 6, тому, що число парне і сума цифр числа =18, і 18 поділяється націло на 3.

Ознака подільності на 7

Це найнеочевидніша ознака подільності з усіх чисел першої десятки, яку найважче запам’ятати, але про неї корисно знати.

Ознаку подільності на 7 досить складно сформулювати, проте спробуємо.

Щоб дізнатися, чи поділяється число на 7 націло, треба наше число розбити на дві частини, відокремивши три останні цифри. З двох чисел, що виходять, слід від більшого відняти менше, якщо отримана різниця буде націло поділятися на 7, то і саме число буде поділятися без залишку на 7.

Наприклад:

• 14284
• 14 та 284
• 284-14 = 270
• 270 не поділяється націло на 7, тому і 14284 не поділяється націло на 7.

Інший приклад:

• 14294
• 14 та 294
• 294-14 = 280
• 280 поділяється націло на 7 (280:7=40), тому, і 14294 поділяється націло на 7.

У випадку, якщо число занадто велике, ознаку подільності на 7 слід застосувати кілька разів:

• 445995285111
• 445995285 111
• 445995285-111 = 7445990174
• 445995 174
• 445995-174 = 7445821
• 445821
• 445 821
• 821-445 = 376
• 376 не поділяється націло на 7, отже, і наше число не поділяється націло на 7.